История автомобиля БАЗ-3778 началась в середине 1980-х годов, когда руководство автопрома приняло решение создать серию развозных машин грузоподъемностью 1,5 тонны. За разработку взялся институт НАМИ, содействие которому оказывали инженеры УАЗа, где и планировалось разместить производство автомобилей — первоначально прототип имел индекс УАЗ-3727. Также рассматривался вопрос о строительстве нового завода в Азербайджанской ССР, в городе Кировабад (ныне Гянджа).
К началу 1990-х годов из-за распада Советского Союза проект автомобиля застопорился. В этот момент к нему подключились специалисты британской фирмы IAD, доработавшие конструкцию машины. В итоге, за организацию выпуска фургонов взялся Брянский автозавод, прежде производивший военную технику.
Фургон БАЗ-3778 имел несущий кузов, одну сдвижную дверь по правому борту, независимую переднюю подвеску. Паспортная грузоподъемность автомобиля составляла 1,5 тонны. Под капотом машины стоял карбюраторный двигатель УЗАМ-4173.10 объемом 2,4 литра и мощностью 92 л. с.
Серийный выпуск автомобилей запустить так и не удалось, БАЗы-3778 собирали до конца 1990-х годов по обходной технологии по несколько десятков машин в год. Окончательно «добило» проект появление цельнометаллической «Газели», которая, к тому же, стоила в два раза дешевле БАЗа.
